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Gauß-Verfahren

Ich versuche es mal. Dabei schreibe ich Extrazeilen, wenn bei der Anwendung normalerweise im Kopf Mehreres auf einmal gerechnet wird. Das halte ich für manchmal etwas schwierig. Daher ist der "Gauß" hier vereinfacht. Dann kriegt man wenigstens alles heraus.
Ich kann nicht garantieren, dass der Editor nicht ein paar Zahlen verrückt. Es sind immer 4 nebeneinander, die du dir zur Not in dein Heft abschreiben musst!

Aufgabe:
I        x   +  y + z = 6
II      2x  + y  -  z = 1
III      x + 2y +2z = 11 

Die römischen Zahlen musst du dir in jeder Zeile davordenken.
Ich übertrage jetzt die Koeffizienten (Vorzahlen von x, y, z) in eine Art Matrixschema. Dahinter steht die Ergebniszahl der Zeile.

1  1  1    6     |  *2
2  1 -1    1     |  (-1)
1  2  2   11     |  (-2)

Die Zahlen, die hinter den Strichen stehen, sind zum Multiplizieren der ganzen Zeile gedacht. Der Sinn ist, dass die erste Zahl der zweiten sowie dritten Zeile genauso groß wird wie die erste Zahl der ersten Zeile, nur negativ!

 2   2  2   12
-2  -1  1   -1    |  I+II
-2  -4 -4  -22  |  I+III

Die erste Zeile wird jetzt abgeschrieben.
In die zweite Zeile kommt die Summe aus Zeile I und Zeile II.
In die dritte Zeile kommt die Summe aus Zeile I und Zeile III.

2  2  2   12
0  1  3   11     | *2
0 -2 -2  -10     | *1

Wir haben links unten 2 Nullen stehen. Jetzt müssen wir noch die zweite Zahl der dritten Zeile auch auf Null bringen. Die zweite und dritte Zeile werden jetzt multipliziert.

2  2  2    12
0  2  6    22
0 -2 -2   -10    |  II+III

Nun werden zwei Zeilen festgehalten.
In die dritte Zeile kommt die Summe aus der zweiten und dritten.

2  2  2    12
0  2  6    22
0  0  4    12

Wenn unten diese drei Nullen stehen, kann man die Unbekannten von unten her ausrechnen:

Aus Zeile 3:
4z = 12
  z =  3

Aus Zeile 2:
2y + 6 * 3 = 22
2y  + 18   = 22
       2y     =  4
         y    =  2

Aus Zeile 1:
2x + 4 + 6 = 12
         2x    = 2
           x    = 1

Wenn du diese Lösungen in die Gleichungen ganz oben einsetzt, wirst du sehen, dass es tatsächlich die Lösungen für das LGS sind.
Das Verfahren solltest du noch an selbstgebastelten Aufgaben üben, weil du für diese ja die Lösungen vorgeben kannst.

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