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Die Parabel

Wenn du noch gar keine Parabeln kennst, werdet ihr euch zunächst mit
y = x²     beschäftigen. Vielleicht werdet ihr euch sogar zum Zeichnen und Verschiebenlernen eine Schablone kaufen müssen.

Geometrisch ist es zunächst eine Figur, bei der ihr eine Wertetabelle machen werdet:

x       y
-3      9           weil (-3)² = (-3) * (-3) = +9  ist
-2      4
-1      1  
 0      0
 1      1
 2      4
 3      9

Wenn man das in ein Koordinatensystem zeichnet und die Punkte verbindet, ergibt es eine einfache quadratische Parabel. Sie zeichnet sich dadurch aus, dass bei den x-Werten (Plus und Minus) das gleiche y auftritt, nur auf verschiedenen Seiten der y-Achse.

Den untersten (später bei umgedrehten Parabeln den obersten) Punkt nennt man Scheitelpunkt.



Man kann eine Parabel in verschiedene Richtungen schieben:
nach links oder rechts bedeutet, sie bleibt auf der x-Achse kleben.
Die Verschiebung wird mit umgekehrtem Vorzeichen in eine Klammer geschrieben.
Eine Verschiebung nach rechts um +3 hat das Ergebnis: y = (x - 3)²
Scheitelpunkt  S(3|0)

Ich denke, für dich ist erst einmal wichtiger, dass es so ist, als, warum es so ist.

Eine Verschiebung nach links um 3 (-3) wird zu (x + 3)²
S(-3|0)

Die Verschiebungen nach oben oder nach unten behalten ihr Vorzeichen.
So ist    y = (x - 3)² + 4   eine Normalparabel
                                     verschoben bei x  um +3
                                     verschoben bei y  um +4
Scheitelpunkt S(3|4)




Du siehst (hoffentlich), dass diese Parabel keine Nullstellen hat (keine Schnittpunkte mit der x-Achse).

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Kommentar von Volens ,

Verarbeite das erst mal, bevor du weiterliest.

Man kann so eine Parabel ausmultiplizieren:

y = (x - 3)²      + 4        Scheitelpunktform
y = x² - 6x + 9 + 4
y = x² - 6x + 13            Normalform

Dabei entstehen andere Zahlen als die in der Scheitelpunktform.
Daher nimmt man auch neue Buchstaben:

y = x² + px + q              Diese Form braucht man für Nullstellen

Nun kann man noch die ganze Funktion mit einem Faktor multiplizieren. Dann entstehen zur Unterscheidung wieder andere allgemeine Zahlen (Buchstaben):

y = ax² + bx + c            Allgemeine Form der Parabel

Wenn wir uns dann a ansehen, erhalten wir daraus einige Erkenntnisse:

Ist a ohne Vorzeichen (was ja + bedeutet), haben wir es mit einer Öffnung nach oben zu tun. Vor unserer Beispielsfunkrion steht eine (unsichtbare) 1 ohne Vorzeichen, also positiv. Tatsächlich öffnet sie sich nach oben.

Steht vor dem a ein Minuszeichen (genauer gesagt: ist a negativ), dreht sich die Parabel um. Der Scheitelpunkt ist oben: sie ist nach unten geöffnet.

Für die Stauchung oder Streckung denkst du dir das Vorzeichen weg, sonst wird die Darstellung etwas komplexer:

a > 1         Die Parabel ist gestreckt (ist schmaler als normal)
a = 1         Normalparabel (wie unser Beispiel)
a < 1         Die Parabel ist gestaucht, das a ist ein Bruch, und sie
                 ist breiter als die Normalparabel
a = 0         schnell vergessen; das ist keine Parabel mehr.

Wie gesagt, das gibt es bei Öffnung nach oben oder nach unten.
Wir müssten sehr vile mehr hinschreiben, wenn wir das exakt beschreiben wollen.

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