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Additionsverfahren: 3 Unbekannte (LGS)

Dieses lineare Gleichungssystem hat 3 Unbekannte und folglich 3 Gleichungen, damit es lösbar ist:

Im Vorgriff auf das Koeffizientenschema für die Lösung einer Steckbriefaufgabe nenne ich die Unbekannten a, b, c. Meist hat man x, y, z. Das ändert nichts am Additionsverfahren.
Bei einem so einfachen Gleichungssystem mit 3 Unbekanten würde ich sogar Gauß mit seinem starren Lösungsschema verwerfen. Der ist gut für Computer.
Trotzdem muss man Obacht geben. Gerade 3 Unbekannte sind immer zickig!

I )     a -  b +   c =    4       | *(-4)
II)  4a + 6b + 3c = -20    | *1           | *(-2)
III) 8a + 5b  - 5c = -85                       | *1

Das Prinzip dabei ist, mit möglichst wenig Aufwand die Unbekannten zu reduzieren. Wenn ich mir die Gleichungen begucke, finde ich, dass a am besten herauszuwerfen ist. Wie man das macht, habe ich oben bereits hinter die Befehlsstriche geschrieben. *1 heißt dabei: keine Veränderung.

Ich brauche 2 Gleichungen, weil ohne a immer noch 2 Unbekannte da sind.
Als erstes schreibe ich I und II (verändert oder unverändert) ab. Dafür verwende ich die ersten zwei Befehle:

I)    -4a + 4b - 4c  = -16
II)    4a + 6b + 3c = -20

I + II)      10b - c   = -36 | *(-11) Zum Weiterrechnen!

Für II + III verwende ich die rechten Befehlsstriche:
(ich hätte natürlich auch I und III nehmen können, das macht man meistens)

II)       -8a - 12b - 6c   =  40
III)       8a + 5b  - 5c   = -85

II + III)        -7b - 11c  = -45 | *1 Zum Weiterrechnen!

Ich vermute, du weißt schon, wie es weitergeht. Ich nehme die addierten Gleichungen. Damit es hier schneller geht, habe ich die Änderungsfaktoren eben schon danebengeschieben, um c wegzuheben. Das ergibt:

I + II)    -110b        + 11c = 396
II + III)     -7b         - 11c  = -45

Addiert: -117b                 = 351    | (-117)
b = -3

Das setzt man weiter oben wieder ein und erhält erst c = 6
und dann a = -5.

Häufig werden in den Gleichungen die Unbekannten x, y, z statt a, b, c verwendet.

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