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Übersetzung für Fortgeschrittene

Nicht sehr systematisches Kompendium

Wie weit fliegt etwas?            Nullstelle einer Funktion         f(x) = 0  
Wie hoch fliegt etwas?           Extremwert einer Funktion      f '(x) = 0             davon y-Wert              mit f '' prüfen
Steigung                                   m bei y = mx + b                       f '(x)  bei Kurven 
Wendepunkt                             f ''(x) = 0   
Sattelpunkt                               f '(x) = 0                                    f ''(x) = 0

Übersicht für Steckbriefaufgaben: 
Es sind immer soviele Gleichungen bzw. Unbekannte nötig, wie der höchste Grad der Funktion ist.
Besser: so viele Gleichungen wie Unbekannte a, b, c, ... , falls Potenzen ausgelassen sind.

f (x)  = 0       Nullstelle                               x = 0     Schnittpunkt mit der y-Achse    
f '(x) = 0       Extremwert
f ''(x) = 0      Wendepunkt

zusätzliche Bedingungen:

f ''(x) < 0       Maximum (Eselsbrücke: negativ)  beim x des Extremwerts
f ''(x) > 0       Minimum (Eselsbrücke: positiv)  beim x des Extremwerts

notwendige Bedingung für Sattelpunkt (unter Verzicht auf f '''(x)):
f '(x) = 0   und   f ''(x) = 0      (beides muss dann gelten an der Stelle)

Wichtig!
f '(x)  = m      m ist Steigung der Tangente bei diesem x

Umsetzung in Gleichungen

Funktionsgleichung am Beispiel vom 3. Grad             ax³  + bx²  + cx + d  = y  
1. Ableitung                                                                        3ax² + 2bx + c         = y'    
2. Ableitung                                                                        6ax   + 2b                 = y''



Kurvenscharen

Eine Kurvernschar wird behandelt wie eine Funktion. Der Parameter spielt die Rolle einer Zahl, während man die Kurve diskutiert. Erst wenn man seine Ergebnisse hat, lässt man den Parameter (meist a) laufen, um für bestimmte Kurven der Schar Gemeinsamkeiten festzustellen, die man in Abhängigkeit vom Parameter dann so zu sagen "voraussagen" kann.

Es gibt bei manchen Kurvenscharen so genannte Ortslinien. Findet man beispielweise heraus, dass alle x-Werte der Extrema ein f(x) = x²  haben, ist die Ortslinie aller Extrema eine Kurve 2. Grades (Normalparabel).


      

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